Espaces de probabilités

Introduction

Les probabilités sont partout !

En proba, on étudie le comportement de variables aléatoires dont on connait la loi En Stat, on dispose de données, qu'on modélise comme réalisation de variabbles aléatoires dont la loi est inconnue et on cherche à reconstruire cette loi

Espace de probabilité

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connait pas le résultat à l'avance

L'ensemble \( \Omega \)

On ne connaît pas le résultat à l'avance, mais on connaît les différentes possibilités. L'ensemble \( \Omega \) représente (et modélise) l'ensemble de tous les résultats possibles.

Exemples

Lancer d'une pièce
- \( \Omega = \{ 0, 1 \} \)
- \( n \) lancers. Un résultat possible \( \omega \) est un \( n \)-uplet \( \left(\omega_{1}, \dots , \omega_{n}\right) \). \( w_{i} in \{ 0, 1 \} \) représente le résultat du \( i \) ème lancer.
\( \Omega = \{ 0, 1 \} ^{\mathbb{N} ^{+} } \) (ensemble fini à \( 2^{n} \) éléments. \( \omega = \left(\omega _{i}\right)_{i in \mathbb{N} ^{*}}, \omega_{i} \in \{ 0, 1 \} , i \in \mathbb{N} ^{*} \)

La tribu des événements observables

Soit \( \Omega \) un ensemble de probabilité.

Définition (tribu)

Une tribu sur \( \Omega, \mathcal{F} \) est un ensemble de sous ensemble de \( \Omega \) qui vérifie :

\( \varnothing \in \mathcal{F} \)
Stabilité par passage au complémentaire. Si \( A \in \mathcal{F} \) , alors \( A^{c} \in \mathcal{F} \)
Stabilité par réunion dénombrable. Si \( \left(A_{i}\right) _{i \in \mathbb{N} ^{*} } \) est une famille d'éléments de \( \mathcal{F} \), alors \( \bigcup_{i \in \mathbb{N} ^{*} } A_{i} \in \mathcal{F} \)

C'est l'ensemble des événements observables auquels on pourra attribuer une proba.

Si \( \Omega \) est fini, on prendra \( \mathcal{F} = \mathcal{P} \left(\Omega \right) \)

Exemple

Tribu \( \mathcal{F}_{0} = \{ \Omega , \varnothing \} \)
Tribu : info parité : \( \mathcal{F}_{1} = \{ \varnothing , \Omega, \{ 2, 4, 6 \} , \{ 1, 3, 5 \} \} \)
Tribu : On vous donne le résultat : \( \mathcal{F} _{2} = \mathcal{P}\left(\Omega \right) \)

Vocabulaire

\( \varnothing \) est l'événement impossible
\( \Omega \) est l'événement certain
\( \{ w \} \in \mathcal{F} \) événement élémentaire
Si \( A \in \mathcal{F}, A^{c} \) est l'événement contraire
Si \( A, B \) sont dans \( \mathcal{F} \) tel que \( A \cap B = \varnothing \), alors \( A \) et \( B \) sont incompatibles
\( i \in I, A_{i} \in \mathcal{F} \)

-> \( \bigcup_{i \in I} A_{i} \) au moins 1 des \( A_{i} \) est réalisé

\[ w \in \bigcup_{i \in I} A_{i} \text{ ssi } \exists i \in I, w \in A_{i} \]

…

La probabilité \( \mathbb{P} \) comme application de \( \mathcal{F} \) dans \( [0, 1 ] \)

Soit \( \Omega \) un ensemble de \( \mathcal{F} \) une tribu sur \( \Omega \) .

Définition

Une probabilité \( \mathbb{P} \) sur \( \left(\Omega , \mathcal{F} \right) \) est une application de \( \mathcal{F} \) dans \( [0,1 ] \).

\[ \mathcal{P} : \begin{pmatrix} \mathcal{F} \longmapsto & [0, 1 ] \\ \ A \longmapsto &\mathbb{P} \left(A\right) \end{pmatrix} \]

Telle que :

\( \mathbb{P} \left(\varnothing \right) = 1 \)
Pour toute famille dénombrable \( \left(A_{i}\right)_{i \in \mathbb{N} ^{*} } \) d'éléments de \( \mathcal{F} \) deux à deux disjoints, on a

\[ \mathbb{P} \left(\bigcup_{i \in \mathbb{N} ^{*} } A_{i} \right) = \sum_{i = 1}^{+ \infty}{\mathbb{P} \left(A_{i}\right) } \]

Le triplet \( \left(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P} \right) \) est l'espace de probabilité

Propriétes

\( \mathbb{P} \left(\varnothing \right) = 0 \)
Union finie \( \left(A_{i}\right)_{ 1 \leq i \leq N} \) une famille finie d'éléments de \( \mathcal{F} \) deux à deux disjoints : \( \mathbb{P} \left(\bigcup_{i = 1}^{N}A_{i} \right) = \sum_{i = 1}^{N}{\mathbb{P}\left(A_{i}\right) } \)
- \( \mathbb{P} \left(A^{c} \right) = 1 - \mathbb{P} \left(A\right) \)
- Si \( A \subset B \) alors \( \mathbb{P} \left(A\right) \leq \mathbb{P} \left(B\right) \)
- \( \mathbb{P} \left(A \cup B\right) = \mathbb{P} \left(A\right) + \mathbb{P} \left(B\right) - \mathbb{P} \left(A \cap B\right) \)
Continuité séquentielle monotone croissante : si \( \left(A_{i}\right)_{i \in \mathbb{N} ^{*} } \) est une famille croissante (\( A_{i} \subset A_{i+1} \forall i \in \mathbb{N} ^{*} \) ) d'éléments alors \( \mathbb{P} \left(\bigcup_{i \in \mathbb{N} ^{*} } A_{i} \right) = \lim_{i \to +\infty}{\mathbb{P} \left(A_{i}\right) } \)
Si \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbb{N} ^{*} }\) est une famille décroissante d'éléments de \( \mathcal{F} \) alors \( \mathbb{P} \left(\bigcap_{i \in \mathbb{N} ^{*} }\right) A_{i} = \lim_{i \to +\infty}{\mathbb{P} \left(A_{i}\right) }\)
Si \( \left(A_{i}\right)_{i} \in I \) est une famille finie ou dénombrable d'éléments de \( \mathcal{F} \), alors \( \mathbb{P} \left(\bigcup_{i \in I}\right) A_{i} \leq \sum_{i \in I}{\mathbb{P} \left(A_{i}\right) } \)

Exemple

\( \Omega \) fini, \( \mathcal{F} = \mathcal{P} \left(\Omega \right) \). Définir une proba sur \( \left(\Omega , \mathcal{F} \right) \) dans ce cas, c'est définir \( \mathbb{P} \left(\{ ,o \} \right) \forall \omega in \Omega \) car \( \forall A \in \mathcal{P} \left(\Omega \right), \mathbb{P} \left(A\right) = \sum_{\omega \in A}{\mathbb{P} \left(\{ \omega \} \right) } \). bp

Manque du cours au dessus :(

Loi binomiale ?

\( A_{n}^i \) est le succès à la ième épreuve, et \( D_{n}^{k} \) est exactement \( k \) succès

\[ \mathbb{P} (A_{n}^{i}) = p \]

\[ D_{n}^{k} = \{ w = \left(w_1, \dots , w_{n}\right) \in \Omega | \sum_{i = 1}^{n}{w_{i}} = k \} \]

Il existe \( 1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_{k} \leq n \) tel que \( w_{i_{j}} = 1 , 1 \leq y \leq k\), \( w_{i} = 0 \) sinon \( \iff \exists I \subset \{ 1, \dots , n \} , \card{I} = k, w_{i} = 1 \text{ si } i \in I, w_{j} = 0 \text{ si } j \notin I \)

Pour \( I \in \{ 1, \dots , n \} , A_{n}^I = \{ w = \left(w_1, \dots , w_{n}\right) \in \Omega , w_{i} = 1 \text{ si } i \in I, w_{j} = 0 \text{ si } j \notin I \} \)

\[ \mathbb{P} \left(A_{n}^{I}\right) = p^{k} \left(1-p\right) ^{n-k} \text{ où } k=\card{I} \]

Donc, il vient que :

\[ D_{n}^{k} = \bigcup_{I \subset \{ 1, \dots , n \} } A_{n}^{I} \text{ Union disjointe } \]

Et donc,

\[ \mathbb{P} \left(D_{n}^{k} \right) = \sum_{I \subset \{ 1, \dots , n \} }{\mathbb{P}\left(A_{n}^{I} \right) = C_{n}^{k} p^{k} \left(1-p\right) ^{n-k} } \]

Remarque \( \bigcup_{k = 0}^{n} \mathbb{P} \left(D_{n}^{k} \right) = 1 \)

\begin{align*} A_{n} &= \text{ "Au moins A succès" } \\ &= \bigcup_{i = 1}^{n} A_{n}^{k} \text{ Union non disjointe } \\ &= \bigcup_{k = 1}^{n} D_{n}^{k} \text{ Union disjointe } \end{align*}

Nombre infini d'épreuvres

\( \Omega = \{ 0, 1 \} ^{\mathbb{N} ^{*} } , \omega = \left(\omega _{i}\right) _{i \in \mathbb{N} ^{*} } \in \Omega \)

\[ \omega _{i} = \begin{cases} 1 \text{ si succès à la ième épreuve} \\ 0 \text{ si échec } \end{cases} \]

On ne peut plus définir la proba à partir de \( \mathbb{P}\left(\{ \omega \} \right) \left(\mathbb{P}\left(\{ \omega \} \right) = 0 \forall \omega \in \Omega \right) \)

\( E_{n} = \) Le premier succès apparait à la nième épreuve = \( \bigcap_{i = 1}^{n - 1} A_{i}^{c} \cap A_{n} \)

On a \( \mathbb{P} \left(A_{i}\right) = p \), et \( \mathbb{P} \left(E_{n}\right) = \left(1-p\right) ^{n-1} p, n \in \mathbb{N} ^{*} \)

A = Au moins un succès

\begin{align*} \mathbb{P} \left(A\right) &= \sum_{n = 1}^{+ \infty}{\mathbb{P} \left(E_{n}\right) } \\ &= \sum_{n = 1}^{+ \infty}{\left(1-p\right) ^{n -1} p} \\ &= p \sum_{k=0}^{+ \infty}{\left(1-p\right) ^{k} } \\ &= p \times \frac{1}{1- \left(1-p\right) } = 1 \end{align*}

Loi géométrique

\( \Omega = \mathbb{N} ^{*} , \mathcal{F} = \mathcal{P} \left(\Omega \right) \)

\( \forall n \in \mathbb{N} ^{*}, \mathbb{P} \left(\{ n \} \right) = p \left(1-p\right) ^{n-1} , p \in ]0, 1 [ \) définit unr proba sur \( \left(\mathbb{N} ^{*} , \mathcal{P}\left(\mathbb{N} ^{*} \right) \right) \)

Loi de poisson

\( \forall n \in \mathbb{N} , \mathbb{P}\left(\{ n \} \right) = \frac{\theta ^{n} }{n !}e^{-\theta }, \theta > 0 \)

\begin{align*} \sum_{n \in \mathbb{N} }{\mathbb{P} \left(\{ n \} \right) } = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{\frac{\theta ^{n} }{n!}e^{-\theta } } = 1 \end{align*}

Remarque si \( \left(a_{n}\right) _{n \in \mathbb{N} } \) est une suite positive convergente \( \left(\sum_{n = 0}^{+ \infty}{a_{n}} = c \right) \) , alors \( p_{n} = \frac{1}{c}a_n, n \in \mathbb{N} \) définit une proba sur \( \left(\mathbb{N} , \mathcal{P} \left(\mathbb{N} \right) \right) \)

Loi uniforme sur un domaine

Un domaine de \( \mathbb{R} \) : \( \Omega \) est un intervalle de \( \mathbb{R} \). On définit une loii uniforme sur \( \Omega \) \[ \mathbb{P} \left(A\right) = \frac{\mathcal{l} \left(A \cap \Omega \right) }{l \left(\Omega \right) } \]

où \( \mathcal{l} \) est la longueur de l'intervalle. Sur \( \mathbb{R} ^2 \), c'est le rapport des aires, et le rapport des volumes sur \( \mathbb{R} ^3 \)

Probabilité conditionnelle et indépendance

Indépendance

Soit \( \Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P} \) un espace de probabilité

Définition

Deux éléments de \( A \) et \( B \) de \( \mathcal{F} \) sont dits indépendants si \( \mathbb{P} \left(A \cap B\right) = \mathbb{P} \left(A\right) \mathbb{P} \left(B\right) \)
Une famille \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) est une famille d'éléments indépendants si \( \forall J \subset I, J \) fini, alors

\[ \mathbb{P} \left(\bigcap_{j \leq 0}^{} A_j\right) = \_prod{j \in J}^{}{\mathbb{P} \left(A_{j}\right) } \]

Remarque : Pour 3 événements A, B, C, ils sont indépendants si ils sont tous deux à deux indépendants et \( \mathbb{P} \left(A \cap B \cap C\right) = \mathbb{P} \left(A\right) \mathbb{P} \left(B\right) \mathbb{P} \left(C\right) \)

Attention ! Famille de deux enfants :

A = L'aîné est une fille, B = Le cadet est un garçon, C = Les deux enfants sont de même sexe

Les événements sont indépendants deux à deux mais pas indépendants